Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère dans l'équation : .
Question
Démontrer que l'équation admet une racine imaginaire pure.
Cherchez à quelle condition (avec réel) est solution de l'équation.
Un nombre complexe est imaginaire pur s'il existe un réel tel que .
Et est solution de si : .
Donc est solution de si : .
Or est réel. Donc est solution de si : .
La première équation a pour discriminant , donc elle admet deux racines réelles et .
Et est racine de la deuxième équation car .
Donc est solution du système, donc est solution de .
Conclusion : L'équation admet une racine imaginaire pure .
Question
En déduire la résolution dans de l'équation .
Utilisez la racine trouvée pour factoriser le premier membre de l'équation.
On en déduit la factorisation : .
Donc l'équation équivaut à ou , équation notée .
L'équation a pour discriminant .
On cherche un complexe de forme algébrique tel que .
Donc : . Donc : . Donc : .
L'équation équivaut à .
Or est réel, donc , donc .
On obtient ou . Donc convient.
Donc les solutions de sont : et .
Conclusion : L'ensemble des solutions de l'équation est .