Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère dans
l'équation
:
.
Question
Démontrer que l'équation
admet une racine imaginaire pure.
Cherchez à quelle condition
(avec
réel) est solution de l'équation.
Un nombre complexe
est imaginaire pur s'il existe un réel
tel que
.
Et
est solution de
si :
.
Donc
est solution de
si :
.
Or
est réel. Donc
est solution de
si :
.
La première équation a pour discriminant
, donc elle admet deux racines réelles
et
.
Et
est racine de la deuxième équation car
.
Donc
est solution du système, donc
est solution de
.
Conclusion : L'équation
admet une racine imaginaire pure
.
Question
En déduire la résolution dans
de l'équation
.
Utilisez la racine trouvée pour factoriser le premier membre de l'équation.
On en déduit la factorisation :
.
Donc l'équation
équivaut à
ou
, équation notée
.
L'équation
a pour discriminant
.
On cherche un complexe
de forme algébrique
tel que
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
L'équation
équivaut à
.
Or
est réel, donc
, donc
.
On obtient
ou
. Donc
convient.
Donc les solutions de
sont :
et
.
Conclusion : L'ensemble des solutions de l'équation
est
.
