Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une partie d'un groupe
.
On note
et
.
Question
On appelle normalisateur de
l'ensemble :
.
Démontrer que
est un sous-groupe de
.
Utilisez la caractérisation des sous-groupes.
Un élément
appartient à
si et seulement si il existe
tel que
.
-
est une partie non vide de
car l'élément neutre
de
appartient à
.
Soient
et
deux éléments de
et soit
.
donc :
. Donc :
. Donc :
.Or
et
. Donc :
. Donc :
.Donc :
. Donc
.Donc :
pour tous les éléments
et
de
.
Soit
et
.
appartient à
, donc à
. Donc :
.Donc :
. Donc :
.Donc
pour tout élément
de
.
Conclusion :
est un sous-groupe de
.
Question
On appelle centralisateur de
l'ensemble :
.
Démontrer que
est un sous-groupe distingué de
.
Démontrez d'abord que
est un sous-groupe de
, puis qu'il est distingué.
Il est évident que
est inclus dans
et non vide car il contient
.
Soient
et
deux éléments de
.Donc :
, donc
, donc
.Donc
appartient à
pour tous les éléments
et
de
.
Donc
est un sous-groupe de
. Montrons qu'il est distingué dans
.
Soit
et
. Donc
car
est un sous-groupe de
.
Donc :
. Et par conséquent :
.
Donc :
.
Donc
pour tous
et
.
Conclusion :
est un sous-groupe distingué de
.
