Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Sur l'ensemble
, on définit la loi
par :
.
Question
Démontrer que l'ensemble
est un groupe.
N'oubliez pas de vérifier que la loi est bien définie et que c'est une loi interne.
Si
et
appartiennent à
, alors
et
. Donc :
, donc :
, et donc :
.
Donc la loi
est bien définie.
De plus :
. Or
et
.
Donc :
, donc
, donc
.
Donc la loi
est une loi de composition interne.
La loi
est commutative de manière évidente.
Etudions son associativité.
.
La loi est commutative, donc :
.
Donc la loi
est associative.
On peut remarquer que :
.
Donc
est élément neutre de la loi
.
Et :
. Donc
est le symétrique de
pour la loi
car
.
Donc tout élément de
admet un symétrique pour la loi
.
Conclusion : L'ensemble
est un groupe abélien.
