Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un groupe,
et
deux sous-groupes de
.
Question
Démontrer que
est un sous-groupe de
si et seulement si
ou
.
Si
est un sous-groupe de
, supposez par exemple que
et démontrez que
.
Supposons que
est un sous-groupe de
.Donc :
.Si
, il existe
et
ou
.Si
appartenait à
, on aurait
, donc
, ce qui est faux.Donc
appartient à
pour tout
. Or
, donc :
.Donc si
est un sous-groupe de
et si
, alors
.Donc si
est un sous-groupe de
, alors
ou
.
La réciproque est évidente puisque si
ou
, on a
ou
.
Conclusion :
est un sous-groupe de
si et seulement si
ou
.
Question
Soit
.
Démontrer que
est un sous-groupe de
si et seulement si
.
Démontrez successivement les deux implications.
Remarquez que l'inverse d'un élément de
est un élément de
.
Supposons que
est un sous-groupe de
.Donc :
, donc :
, donc :
.Or
et
sont des sous groupes de
, donc
et
, donc
. Donc
.De même :
, donc
.Or
et
sont des sous groupes, donc
et
, donc
.Mais
est un sous-groupe de
, donc
, donc
. Donc
.Donc si
est un sous-groupe de
, alors
.
Réciproquement, supposons que
.
est une partie non vide de
puisqu'elle contient
élément neutre de
.Soit
. Donc il existe
tel que
et
tel que
, donc
. Donc :
.
et
, donc
, donc
.Donc il existe
tel que
, donc
. Or
.Donc :
.Donc si
, alors
est un sous-groupe de
.
Conclusion :
est un sous-groupe de
si et seulement si
.
Remarque :
Dans ce cas,
est le sous-groupe engendré par
, ce qui explique qu'il faut que
.
