Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux applications, et
.
Question
Démontrer que si
est surjective et
injective, alors
est surjective.
Résolvez dans
l'équation
pour un élément quelconque
.
On suppose que l'application
est surjective et que l'application
est injective.
Soit
. Donc
appartient à
.
Or l'application
est surjective de
dans
. Donc
a au moins un antécédent dans
.
Donc :
. Donc :
.
Or l'application
est injective. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : L'application
est surjective.
Question
Démontrer que si
est injective et
surjective, alors
est injective.
Résolvez
pour deux éléments quelconques
et
de
.
On suppose que l'application
est injective et que l'application
est surjective.
Soient
et
deux éléments de
tels que
.
L'application
est surjective. Donc
et
ont au moins un antécédent dans
.
Donc :
et
.
Et :
, donc
, donc
.
Or l'application
est injective. Donc
, donc
, donc
.
Conclusion : L'application
est injective.
