Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient et deux applications, et .
Question
Démontrer que si est surjective et injective, alors est surjective.
Résolvez dans l'équation pour un élément quelconque .
On suppose que l'application est surjective et que l'application est injective.
Soit . Donc appartient à .
Or l'application est surjective de dans . Donc a au moins un antécédent dans .
Donc : . Donc : .
Or l'application est injective. Donc : .
Donc : .
Conclusion : L'application est surjective.
Question
Démontrer que si est injective et surjective, alors est injective.
Résolvez pour deux éléments quelconques et de .
On suppose que l'application est injective et que l'application est surjective.
Soient et deux éléments de tels que .
L'application est surjective. Donc et ont au moins un antécédent dans .
Donc : et .
Et : , donc , donc .
Or l'application est injective. Donc , donc , donc .
Conclusion : L'application est injective.