Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit
une application de
dans
.
Démontrer que l'application
est surjective si et seulement si il existe une application
de
dans
telle que
.
A tout élément de
, on peut associer un antécédent.
On démontre successivement les deux implications.
On suppose qu'il existe une application
de
dans
telle que
.Donc :
, donc
.Donc tout élément
de
possède un antécédent
dans
.Donc l'application
est surjective.
On suppose que l'application
est surjective.Donc tout élément
de
possède au moins un antécédent :
.Pour tout élément
de
, on peut donc choisir un élément
parmi les antécédents de
, et on aura donc :
.On définit ainsi une application
(qui n'est pas unique) de
dans
telle que
.
Conclusion : L'application
est surjective si et seulement si il existe une application
de
dans
telle que
.
