Suites numériques

On sait que pour une fonction positive sur un intervalle , est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe de , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .

La courbe représentative de la fonction est un quart de cercle de centre O et de rayon 1.

En effet un point est sur la courbe si et seulement si : et , ce qui équivaut à : , et , c'est-à-dire , et .

Donc correspond à l'aire, en unités d'aires, d'un quart de disque de centre O et de rayon 1.

On sait que l'aire d'un disque de rayon R est .

On a donc .

On sait que la fonction racine carrée est dérivable sur .

Pour , on a :

La fonction définie par est donc dérivable sur , car elle est le produit et la composée de fonctions dérivables (la fonction polynôme et la fonction racine carrée).

Pour on a : , donc :

Donc pour tout .

Etudions la dérivabilité de en 1 en cherchant .

On a :

donc .

On a et , donc .

On en déduit .

Donc est dérivable en 1 et .

On peut remarquer que lorsque est égal 1, on a .

Donc est dérivable sur et pour tout on a : .

Par définition on a .

On sait que pour tout on a , on en déduit que la fonction a pour primitive sur la fonction .

On a donc : .

Donc :

Par conséquent .

Lorsque appartient à , on a : , donc (car la fonction est croissante sur ).

On en déduit et par conséquent .

On sait de plus que la fonction racine carrée est croissante sur .

Donc , c'est-à-dire pour tout .

Soit un entier naturel strictement positif.

étant positif, on obtient pour tout .

0 étant inférieur à 1, en intégrant de 0 à 1, on obtient :

, c'est-à-dire .

On a :

Donc .

On a donc, pour tout entier naturel non nul : .

On sait que .

Le théorème des gendarmes permet alors d'en déduire que est convergente et que .

Soit un entier strictement positif.

On a ,

donc ,

donc .

On peut intégrer par parties en prenant :

, donc .

et .

Les fonctions , , et sont continues sur .

On obtient alors :

On a donc :

Or .

On en déduit

Donc : pour tout entier strictement positif.

Pour , on peut écrire : , donc .

On peut intégrer par parties en prenant :

, donc .

et .

On obtient alors :

.

On a donc : .

Or .

Donc : .

On en déduit .

On a donc: pour tout .

On sait que pour tout , .

En utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

Sachant que , on en déduit : .

En utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

Sachant que , on en déduit : , c'est-à-dire .

En utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

Sachant que , on en déduit : .

En utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

Sachant que , on en déduit : , c'est-à-dire .

Pour obtenir les valeurs approchées de avec un tableur, on peut donner dans la colonne A les valeurs de et dans la colonne B les valeurs de .

Pour cela on pourra écrire dans la cellule A1 la valeur 0, puis dans la cellule A2 la formule = A1 + 1. On recopiera cette formule vers le bas autant de fois que nécessaire.

On peut écrire dans la cellule B1 la valeur de , dans la cellule B2 la valeur de , et dans la cellule B3 la formule correspondant à la relation c'est-à-dire .

On recopie cette formule vers le bas.

On obtient alors :

Considérons la proposition :

« et »

On sait que et

Pour , on a et .

La proposition est donc vraie lorsque .

Supposons que est vraie pour un entier fixé non nul .

On a alors :

et

En utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

En utilisant l'expression de , on obtient :

donc ,

c'est-à-dire

D'autre part en utilisant la relation avec , on obtient : , donc .

En utilisant l'expression de , on obtient :

donc ,

c'est-à-dire .

La proposition est alors vraie.

On a donc justifié par récurrence que :

et

pour tout entier naturel non nul .

Considérons un entier n strictement positif. Comme , on a , en effet on peut écrire avec et .

étant positif, on en déduit pour tout .

Comme , on a alors : , c'est-à-dire .

Cette inégalité reste vraie pour , en effet on a et , donc .

On a donc, pour tout , , c'est-à-dire que la suite est une suite décroissante.