a. La fonction sinus est croissante sur 
et
est un réel de 
, donc pour tout 
, on a 
.
La fonction 
est croissante sur
, donc 
.
Comme 
, on en déduit que : 
0 et 
étant des constantes, on obtient : 
, c'est-à-dire 
.
On a donc 
pour tout 
.
La fonction sinus est croissante sur , et
est un réel de , donc pour tout 
, on a 
.
La fonction est croissante sur
, donc 
.
Comme 
, on en déduit que : 
.
1 et étant des constantes, on obtient : 
.
Comme on a de plus 
, on en déduit : 
.
On a donc 
pour tout .
c.
est un réel de , donc 
.
On sait que, si
est un réel tel que
, on a 
.
Donc 
, donc 
et par conséquent 
.
On sait que
est une suite convergente ; l'inégalité 
pour tout , permet alors de déduire que : 
.
En notant
la limite de la suite
, on obtient donc : 
.
L'inégalité qui est justifiée pour toute valeur de
dans l'intervalle , permet de justifier, en prenant
aussi proche que l'on veut de 
que
est égal à 0.
En effet, supposons que
est strictement positif, on a alors : 
, donc 
.
Considérons un réel
strictement positif tel que 
,
est donc un élément de .
L'inégalité 
démontrée précédemment pour tout réel
dans peut s'appliquer à
. On en déduit 
, ce qui conduit à une contradiction puisqu'on a choisi 
.
On ne peut donc pas supposer que est strictement positif.
Et comme on sait que 
, on en déduit que 
.
de nombres réels définie, pour tout entier naturel
non nul, par : 
.
est décroissante et convergente.
et on se propose de calculer
et
par :
.
.
