1) a une écriture complexe de la forme avec et , c'est donc une similitude indirecte de rapport ( est encore appelé antidéplacement).

Quel que soit , est un imaginaire pur donc cette équation n'a pas de solution et n'a pas de point invariant.

2) La symétrie axiale d'axe, l'axe des abscisses du repère et la translation de vecteur d'affixe ont respectivement pour écritures complexes : et donc la composée a pour écriture complexe écriture complexe de . On a donc bien .

3) a pour écriture complexe ( affixe de ).

a pour écriture complexe (une symétrie axiale est une similitude indirecte) et elle admet les points de la droite d'équation pour points invariants soit :

a donc pour écriture complexe et la composée , .

et ont donc la même écriture complexe donc .

D'après le 2 :

est égale à l'application identique du plan)

On a donc bien : (voir figure 1 dans l'animation proposée à la fin de l'exercice) :

Pour construire l'image de , on construit le symétrique de par rapport à la droite , puis est l'image de par la translation de vecteur .