Nombres complexes

Un résultat de géométrie...

Introduction

L'objectif de cette exercice est d'obtenir le résultat de géométrie suivant : un triangle et le centre de son cercle circonscrit, le point défini par est l'orthocentre de . Dans un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés.

Prérequis :

  • Vecteurs, angle de vecteurs

  • Hauteur, centre de gravité et orthocentre dans un triangle

Durée : 50 minutes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 4 cm).

On considère les 3 nombres complexes non nuls deux à deux distincts , , tels que . On désigne par , , les points d'affixes respectives , , et le point d'affixe .

1) Soit . Démontrer que est un imaginaire pur et en déduire que et le sont aussi.

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2) Exprimer en fonction de , , , les affixes des vecteurs et et en déduire que est une hauteur du triangle .

Justifier que est l'orthocentre du triangle .

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3) est le centre de gravité du triangle ; après avoir précisé son affixe, justifier l'alignement des points , , .

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4) Dans cette question, , , ; faire la figure et placer et .

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