Théorème de Shannon
Pour démontrer le théorème de Shannon, il s'agit de regarder comment l'opération d'échantillonnage impacte le spectre du signal. Nous démontrerons que l'impact est nul moyennant une condition simple à retenir.
Nous notons 
le signal échantillonné qui résulte de l'échantillonnage idéalisé doublement de l'entrée 
. Il vient :
où on ne représente plus explicitement la variation (de moins l'infini à plus l'infini) de l'indice discret k.
Pour regarder l'impact sur le spectre, il s'agit de prendre la transformée de Fourier des deux membres.
(la TF d'un produit simple devient produit de convolution des TF).
On se souvient à présent de la propriété de l'impulsion de Dirac :
qu'on combine avec la distributivité du produit de convolution par rapport à l'addition. Il vient :
Il faut interpréter cette dernière équation graphiquement. On va utiliser un spectre particulier (en forme de triangle) mais il faut bien comprendre que la forme du spectre réel importe peu, pourvu que le signal admette une fréquence maximale. La figure ci-dessous montre le module du spectre en fonction de la fréquence.
Remarque :
Le signal à échantillonner étant réel, le module de son spectre est pair et on admet que la fréquence maximal dans le signal d'entrée vaut 
(respectivement
).
signifie que le spectre du signal échantillonné est, à la constante multiplicative 
près, la superposition du spectre initial, 
pour 
et d'une infinité de répliques (pour les valeurs de k de moins l'infini à plus l'infini) qui correspondent au spectre initial décalé ou translaté sur l'axe des fréquences d'un nombre entier relatif de 
.
La figure ci-dessous représente cette périodisation du spectre initial (on n'a représenté que la réplique 
et 
avec 
. Ainsi, le motif initial et ses répliques sont bien disjoints.
Si 
est trop faible, alors les répliques recouvrent le motif initial ce qui se traduit par une distorsion du spectre et par conséquent une perte irréversible d'information. C'est le cas de la figure ci-dessus.
Quantitativement, il est aisé de déterminer la valeur limite pour laquelle les répliques et le motif initial sont juste disjoints, il s'agit évidemment de :
qu'on connaît sous le nom de fréquence de Nyquist. On trouve aussi le théorème sous l'appellation de théorème de Shannon :
Pour échantillonner un signal sans distorsion, il faut l'échantillonner à au moins deux fois la fréquence maximale qu'il contient.
