Mécanique 

Soit un mouvement repéré par des positions à des instants espacés par des intervalles de temps égaux ( ).

Si on veut définir la vitesse au point , doit-on dire que cette vitesse est , la vitesse de l'objet lorsqu'il arrive en , ou , la vitesse de l'objet lorsqu'il part de ? On préfère dans ce cas lui attribuer une vitesse moyenne :

On généralise alors par la vitesse moyenne au point :

Or :

On peut écrire :

avec

( correspond à 2 intervalles de temps.)

La vitesse instantanée est la vitesse exacte à un instant précis, c'est-à-dire lorsque l'intervalle de temps devient le plus petit possible, en fait lorsque l'intervalle de temps s'approche de zéro. Ce qui revient à dire que l'on doit prendre les points et les plus près possible du point .

On écrit :

Ainsi le vecteur vitesse instantanée, s'écrit comme la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

(en )

Le vecteur vitesse en un point est toujours tangent à la trajectoire en ce point et est dirigé dans le sens du mouvement.