Conjecturer et déterminer des lieux géométriques
Introduction
Prérequis :
Repère orthonormal direct du plan, coordonnées de points
Equation cartésienne réduite d'une droite
Caractérisation vectorielle d'une droite, triangle rectangle isocèle et rotation
Durée : 55 minutes
est un triangle rectangle isocèle de sommet
tel que 
.
A partir de chaque point
du segment
, on construit les points
et
, projetés orthogonaux respectifs de
sur les droites
et
, et les points
et
, sommets du carré
de diagonale
avec 
.
On se propose de déterminer les lieux de
et
lorsque le point
décrit le segment
Utiliser l'appliquette pour établir des conjectures sur ces lieux géométriques (Java - env. 150Ko)
On choisit le repère orthonormal 
avec 
et 
.
Dans ce repère,
a pour affixe
et
a pour affixe
(
est un réel positif).
1) Montrer que l'affixe du point
peut s'écrire
où
est un réel de
. En déduire les affixes des points
et
.
2) On note
et
les affixes respectives de
et
Démontrer que : 
et 
.
3) En déduire que la position du point
est indépendante de celle du point
.
Préciser cette position par rapport à
et
.
4) Vérifier que 
.
En déduire le lieu du point
lorsque le point
décrit le segment
.
