Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux réels strictement positifs.
Soit
la fonction définie par :
si
et
si
.
Question
Pour quelles valeurs des réels
et
la fonction
est-elle continue sur
?
Utilisez les opérations sur les fonctions continues.
La fonction
est continue sur
car :
.
Pour tout
, la fonction
est continue sur
et :
.
Donc la fonction
est continue sur
pour tout
.
De même la fonction
est continue sur
pour tout
.
Conclusion : La fonction
est continue sur
pour tous
et
.
Question
Pour quelles valeurs des réels
et
la fonction
est-elle continue sur
?
Etudiez la limite de
quand
tend vers
.
On sait déjà que la fonction
est continue sur
pour tous
et
.
Il faut étudier la continuité en
. Or :
.
Donc
si et seulement si
.
Donc la fonction
n'est pas continue en
si
.
Et :
.
Donc, si
, alors :
, donc la fonction
est continue en
.
Conclusion : La fonction
est continue sur
si et seulement si
.
Question
Pour quelles valeurs des réels
et
la fonction
est-t-elle de classe
sur
?
Etudiez la dérivabilité des fonctions
et
.
La fonction
est de classe
sur
car :
.
La fonction
est de classe
sur
pour tout
.
Elle est dérivable en
si et seulement si
. Alors, elle est de classe
sur
.
De même la fonction
est de classe
sur
pour tout
.
Elle est dérivable en
si et seulement si
. Alors, elle est de classe
sur
.
Donc, si
et
, la fonction
admet des dérivées partielles continues sur
.
Si
, la fonction
n'admet pas de dérivée partielle par rapport à
aux points de la forme
avec
.
Si
, la fonction
n'admet pas de dérivée partielle par rapport à
aux points de la forme
avec
.
Conclusion : La fonction
est de classe
sur
si et seulement si
et
.
Question
Pour quelles valeurs des réels
et
la fonction
est-t-elle de classe
sur
?
Etudiez l'existence et la continuité des dérivées partielles en
.
Toute fonction de classe
sur
est continue sur
et de classe
sur
.
Donc il faut que
,
et
, ce que l'on suppose dans la suite.
Il s'agit d'étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles en
.
, donc
a une dérivée partielle en
:
.
Si
:
car
.
Donc :
. Donc :
.
Sur
la fonction
admet une dérivée partielle par rapport à
.
Si
:
si
, et :
.
Si
:
si
, et :
.
Donc :
, et :
.
Donc :
.
Donc si
, alors :
.
Et si
:
ne tend pas vers
quand
tend vers
.
Donc :
si et seulement si
.
Donc la dérivée partielle
est continue en
si et seulement si
.
Le raisonnement est identique pour la dérivée partielle de
par rapport à
et aboutit à la même condition par symétrie.
Conclusion : La fonction
est de classe
sur
si et seulement si
,
et
.
