Applications de classe C k
Dans ce qui suit,
et
sont des
- espaces vectoriels normés de dimension finie,
est un ouvert non vide de
et
est une application de
dans
.
Définition :
La fonction
est continûment différentiable ou de classe
en
si
est différentiable en
et si sa différentielle
est continue en
.
La fonction
est continûment différentiable ou de classe
sur
si
est différentiable sur
et si sa différentielle
est continue sur
.
La différentielle de
est une application de
dans
qui est de dimension finie.
Il s'agit donc de montrer que :
pour n'importe quelle norme.
Fondamental :
Propriétés
La fonction
est de classe
sur
si et seulement si toutes ses coordonnées dans une base de
le sont.La fonction
est de classe
sur
si et seulement si
est différentiable sur
et si pour tout
, sa dérivée
est continue sur
.La fonction
est de classe
sur
si et seulement si
admet des dérivées partielles sur
et si ces dérivées partielles sont continues sur
.
C'est ce dernier critère qui sera le plus facile à utiliser.
Fondamental :
Opérations
Si
et
sont de classe
sur
, alors la fonction
est de classe
sur
pour tout
.Si
est de classe
sur
et si
est de classe
sur un ouvert
contenant
, alors
est de classe
sur
.
Si
admet des dérivées partielles, chacune d'elles est une application de
dans
.
Elle peut donc elle-même admettre ou non des dérivées partielles.
On en déduit des dérivées partielles successives et des classes de fonctions par récurrence.
Définition :
La fonction
est de classe
sur un ouvert
non vide si
est continue sur
.
Pour tout
,
est de classe
sur
si
est de classe
sur
et si ses dérivées partielles sont de classe
sur
.
Si
est de classe
, on définit ses dérivées partielles d'ordre
:
.
La fonction
est de classe
si elle est de classe
pour tout entier
.
Exemple : La fonction
définie par :
admet des dérivées partielles d'ordre
.
et
.
Ces fonctions admettent aussi des dérivées partielles qui sont les dérivées partielles d'ordre
de
.
En dérivant par rapport à
:
, et :
.
En dérivant par rapport à
:
, et :
.
Si l'on dérive encore, on obtient les dérivées partielles d'ordre
de
:
,
,
et
.
,
,
et
.
Fondamental :
Propriétés
L'ensemble des fonctions de classe
sur
est un espace vectoriel et :
.Le produit de deux fonctions de classe
sur un ouvert non vide
est une fonction de classe
sur
.Si la fonction
est de classe
sur un ouvert non vide
de
à valeurs dans un ouvert
de
et si
est une fonction de classe
sur
, alors la fonction
est de classe
sur
.
Dans l'exemple précédent, on peut remarquer que :
.
Et donc :
.
De même :
.
Pour cette fonction, l'ordre des dérivations n'a pas d'importance. C'est le cas des fonctions de classe
sur un ouvert.
Fondamental :
Théorème de Schwarz
Si
est de classe
sur un ouvert
non vide, alors :
.
On peut utiliser ce théorème pour démontrer qu'une fonction n'est pas de classe
.
Il suffira de trouver deux variables telles que :
.
