Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies par :
, et :
.
Question
Démontrer que la suite
converge simplement sur
vers une fonction
.
Pensez aux méthodes d'étude des suites récurrentes et des suites homographiques.
Une récurrence simple prouve que :
, donc la suite est bien définie.
Une autre récurrence simple prouve que :
, et :
.
La fonction
est continue sur
. Donc si la suite
converge, sa limite vérifie :
.
Donc :
. Or :
. Donc la seule limite possible est :
.
.
Et :
.
On considère la suite définie par :
.
Donc :
, et :
.
Donc la suite
est géométrique pour tout
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
.
Or :
, et donc :
.
De plus :
. Donc :
.
Conclusion : La suite
converge simplement sur
vers la fonction
:
.
