Convergence d'une suite de fonctions
Les fonctions sont définies sur un intervalle de à valeurs réelles ou complexes.
Définition :
Convergence simple (ou ponctuelle)
La suite de fonctions converge simplement sur vers la fonction si : .
Cela se traduit par : .
Exemple :
Exemple : On considère la suite de fonctions définies sur par .
Cette suite converge simplement vers la fonction définie par si et .
Sur cet exemple, on peut remarquer que la continuité des fonctions n'entraîne pas la continuité de la limite .
Il faut une notion de convergence plus forte.
Rappel : Si une fonction est bornée sur un intervalle , on note .
Définition :
Convergence uniforme
La suite de fonctions converge uniformément sur vers la fonction si .
Cela se traduit par : .
A partir d'un certain rang, les fonctions doivent être bornées.
Exemple :
Exemple : On considère la suite de fonctions définies sur par .
Après avoir étudié la convergence simple, montrer que la convergence est uniforme. Solution
Dans le cas de la convergence simple, l'entier dépend de , alors que dans la convergence uniforme, l'entier est le même pour tous les .
Fondamental :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Mais, évidemment, la réciproque est fausse.
Fondamental :
S'il existe une suite numérique convergeant vers telle que , alors la convergence est uniforme.
S'il existe une suite de telle que , alors la convergence n'est pas uniforme.
Par exemple, la suite définie sur par converge simplement vers la fonction définie par si et .
Mais la convergence n'est pas uniforme car si , alors et tend vers , donc .
Fondamental :
La convergence uniforme sur entraîne la convergence uniforme locale sur , c'est-à-dire sur tout segment inclus dans .
Mais la réciproque est fausse.
Par exemple la suite définie sur par converge simplement vers la fonction définie par .
La convergence est uniforme sur tout segment inclus dans car qui tend vers .
Mais la convergence n'est pas uniforme sur car si , alors , donc ne tend pas vers .