Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit un réel
.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Question
Etudier la convergence de la suite
.
Commencez par déterminer sur quel intervalle il y a convergence simple.
Pour l'étude de la convergence uniforme, utilisez les variations des fonctions
.
Pour tout
, on a :
et :
.
Or :
. Donc, si
:
. Donc :
si
, alors
, donc :
.si
, alors
, donc :
.
, donc :
car
.
Conclusion : La suite
converge simplement sur
vers la fonction nulle et diverge sur
.
Pour étudier la convergence uniforme sur
, il faut calculer :
.
La fonction
est croissante sur
et positive. Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La convergence n'est pas uniforme sur
.
Par contre, si
, alors :
avec
, donc :
.
Donc la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans
.
Conclusion : Sur
, il y a convergence uniforme locale.
