Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'ensemble des fonctions réelles continûment dérivables sur
.
Pour toute
, on définit :
et
.
Question
Montrer que les applications
et
sont des normes sur
.
Démontrez les trois axiomes.
L'ensemble
est un espace vectoriel réel.
Les applications
et
sont bien définies puisque les fonctions
et
sont continues sur
, donc bornées.
Pour toute fonction
:
.Et :
.Donc :
et
.
Soit
et
.
.Et :
.
Soient
et
deux éléments de
.
et
.
.Or :
et
.Donc :
.Donc :
.Et :
.Donc :
. De même :
.Donc :
.
Conclusion : Les applications
et
sont des normes sur
.
Question
Comparer ces deux normes. Sont-elles équivalentes ?
Utilisez les propriétés de la continuité sur un segment.
Soit
. On a :
et
.
Donc :
. Donc :
.
Les fonctions
et
sont continues sur
, donc bornées et atteignent leurs bornes.
Donc il existe
et
tels que :
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : Les normes
et
sont équivalentes.
