Comparaison de normes
Dans ce qui suit
ou
.
Définition :
Deux normes
et
sont équivalentes s'il existe deux réels
et
strictement positifs tels que :
.
Fondamental :
Propriétés :
C'est une relation d'équivalence (donc symétrique).
Toute boule de
contient une boule de
et réciproquement.
On en déduira que :
Toute suite qui converge vers
pour
converge vers
pour
et réciproquement.Toute fonction continue pour
est continue pour
et réciproquement.
On pourra donc utiliser n'importe quelle norme équivalente pour étudier une convergence ou une continuité.
On choisira celle qui est la mieux adaptée au cas étudié.
Fondamental :
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Définition :
Dans l'espace vectoriel
, on définit usuellement trois normes :
si
.
si
.
si
.
Les normes
,
et
sont équivalentes.
En effet, l'espace vectoriel
est de dimension finie.
Définition :
Dans l'espace vectoriel des polynômes
, on définit usuellement trois normes :
si
.
si
.
si
.
Les normes
,
et
ne sont pas équivalentes, mais :
.
Toute boule de
contient une boule de
et une boule de
.
La convergence ou la continuité pour
entraîne la convergence ou la continuité pour
et
mais la réciproque est fausse.
Par contre, dans l'espace vectoriel
(de dimension finie), les normes
,
et
sont équivalentes.
Définition :
Soient
et
deux réels tels que
.
Dans l'espace vectoriel des fonctions continues
, on définit usuellement trois normes :
.
.
.
Les normes
,
et
ne sont pas équivalentes, mais :
.
Toute boule de
contient une boule de
et une boule de
.
La convergence ou la continuité pour
entraîne la convergence ou la continuité pour
et
mais la réciproque est fausse.
Définition :
Dans l'espace vectoriel des matrices
, on définit usuellement trois normes :
si
.
si
.
si
.
Les normes
,
et
sont équivalentes.
En effet, l'espace vectoriel
est de dimension finie.
