Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'ensemble des séries complexes absolument convergentes.
Pour tout
, on définit :
,
et
.
Pour tout entier
, on note
la série définie par :
.
Question
Calculer
,
et
.
C'est une série absolument convergente puisque les sommes sont finies.
, donc :
.
, donc :
.
Et
, donc :
.
Conclusion :
,
et
.
Question
Montrer que les applications
,
et
sont des normes sur
.
Pour chaque application, démontrez les trois axiomes.
L'ensemble
des séries absolument convergentes est un espace vectoriel sur
.
Toute série absolument convergente est bornée et de carré sommable car
, et donc à partir d'un certain rang :
.
Donc les applications
,
et
sont bien définies et sont à valeurs dans
.
Pour toute série
:
,
et
.Donc :
,
et
.
Soit
et
. On a :
.Donc par passage à la limite :
.De même :
, donc par passage à la limite :
.Donc :
.Et :
, donc
.
Soient
et
deux éléments de
:
.Donc :
.Donc par passage à la limite :
.Et :
, donc :
.Et :
.Donc :
.Or d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
.Donc :
.Donc :
.Donc, par passage à la limite :
. Donc :
.
Conclusion : Les applications
,
et
sont des normes sur
.
Question
Comparer ces trois normes. Sont-elles équivalentes ?
Utilisez la série
.
Pour toute série
:
et
.
Donc :
et
.
De plus :
, donc :
.
Donc :
.
Reprenons la série définie par :
.
On a vu que :
,
et
.
Donc :
.
Donc aucun de ces trois quotients n'est borné.
Conclusion : Les normes
,
et
ne sont pas équivalentes, mais
.
