Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
L'objectif est d'étudier l'intégrale de Dirichlet :
.
Question
Démontrer que la fonction
n'est pas intégrable sur
.
Minorez l'intégrale par la somme d'une série divergente.
La fonction
:
est continue sur
et prolongeable par continuité en
en posant
.
Donc il en est de même pour
:
. Donc le seul problème est en
.
Or :
. Donc :
.
Or :
et
.
Donc :
. Donc :
.
Or :
par divergence de la série harmonique
.
Donc :
. Donc l'intégrale
est divergente.
Conclusion : La fonction
n'est pas intégrable sur
.
Question
Démontrer que l'intégrale de Dirichlet
est convergente.
Intégrez par parties.
La fonction
:
est continue sur
et prolongeable par continuité en
en posant
.
Donc l'intégrale
est convergente.
Par intégration par parties :
.
Or :
. Et :
.
Or la fonction
est intégrable sur
. Donc, par comparaison, la fonction
est intégrable sur
.
Donc l'intégrale
est absolument convergente donc convergente.
Donc la fonction
admet une limite réelle quand
tend vers
.
Conclusion : L'intégrale de Dirichlet
est convergente.
Question
En déduire la limite de l'intégrale
quand
tend vers
.
Démontrez la convergence de l'intégrale, puis effectuez un changement de variable.
La fonction
est continue sur
et
.
Donc l'intégrale
est convergente.
On pose :
, donc
et
.
Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La limite de
est l'intégrale de Dirichlet.
Question
Question
Démontrer que la fonction
admet un prolongement en
de classe
.
Utilisez les développements limités en
.
La fonction
:
est de classe
sur
et :
.
Au voisinage de
:
et :
.
Donc :
, et :
.
Donc :
.
Donc :
et
. Donc :
et
.
Conclusion : La fonction
admet un prolongement de classe
sur
.
Il suffit de poser :
et
.
