Exo 15
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
Pour l'étude en
, utilisez le théorème de prolongement de la dérivée.
La fonction
est définie si et seulement si :
et
.
Or :
et :
. Donc :
.
, donc :
et :
.
La fonction
est dérivable sur
, donc par composition, la fonction
est dérivable si
, donc sur
.
, donc :
.
La fonction
est continue en
et :
.
Donc d'après le théorème de prolongement de la dérivée,
n'est pas dérivable en
, mais sa courbe admet une tangente verticale au point d'abscisse
.
On peut remarquer que, puisque
, on peut poser :
.
Donc :
, et donc :
, donc :
.
Or :
, donc :
, et donc :
.
Donc :
. On aurait pu faire l'étude sous cette forme.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
Pour l'étude des variations, dérivez deux fois.
Pour l'étude de la branche infinie en
, démontrez que :
, et utilisez un développement limité.
La fonction
est définie sur
et elle est paire. On l'étudie donc sur
.
, donc :
et :
.
Pour étudier la branche infinie, on étudie la limite de :
.
La fonction
:
a une dérivée nulle, donc elle est constante sur
.
Donc :
, donc :
.
Donc :
en posant :
.
La fonction Arctangente est indéfiniment dérivable :
donc :
.
donc :
.
donc :
.
Donc :
au voisinage de
.
Donc :
au voisinage de
.
Donc la courbe de
admet en
une asymptote oblique d'équation
et elle se trouve au dessus de son asymptote.
La fonction
est dérivable sur
comme produit de fonctions dérivables.
. Donc
est dérivable sur
.
, donc :
.
Donc la fonction
est strictement croissante sur
et :
.
Donc :
.
