Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
Pour l'étude des variations, exprimez
en fonction des lignes trigonométriques de
.
La fonction
est définie si et seulement si
. Donc :
.
La fonction est périodique de période
, donc on l'étudie sur
.
et
. Donc :
.
et
. Donc :
.
La fonction
est dérivable sur
comme quotient de fonctions dérivables.
.
Or :
.
, donc :
, donc
est du signe de
.
Or :
.
Donc :
si :
, donc si :
.
Et :
si :
, donc si :
.
On obtient le tableau de variations de
sur
:
On complète la courbe par translations pour balayer tout l'ensemble de définition.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
Pour l'étude des variations, transformez la somme
en produit.
La fonction
est définie sur
, périodique de période
et paire. Donc on l'étudie sur
.
La fonction
est dérivable sur
comme somme de fonctions dérivables.
. Or :
.
Donc :
.
, donc :
.
Donc :
si
ou
ou
. Et :
si
.
Sur
:
et
.
On en déduit le tableau de variations de la fonction
sur
.
On complète la courbe d'abord par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis par translations pour balayer tout l'ensemble de définition.
