Dérivation des fonctions numériques (1)

Exo 4

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la fonction définie par : .

Question

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction .

Solution

est défini si et seulement si et .

Conclusion : L'ensemble de définition de la fonction est .

Question

Déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction .

Indice

Utilisez les opérations sur les fonctions dérivables sur un intervalle.

Pour les points restants, cherchez la limite du taux d'accroissement.

Solution

La fonction est dérivable sur et strictement positive sur .

La fonction est dérivable sur .

Donc, par composition, la fonction est dérivable sur .

Et la fonction est dérivable sur .

Donc, par produit, la fonction est dérivable sur .

On étudie la dérivabilité en .

. Donc : . Donc : .

Donc la fonction est dérivable en et .

Conclusion : L'ensemble de dérivabilité de la fonction est .

Question

Calculer la dérivée de la fonction .

Indice

Utilisez les opérations sur les fonctions dérivables sur un intervalle.

Solution

Soit : . Donc : .

Or : . Donc : .

Donc : .

On peut remarquer que l'expression reste valable pour puisque .

Conclusion : .

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