Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une fonction croissante, définie sur
et à valeurs réelles.
Question
Démontrer que si
, alors :
.
Indice
Traduisez l'hypothèse :
à l'aide de la définition de la limite.
Et remarquez que :
si
.
Solution
Soit
. On traduit l'hypothèse :
.
Donc :
.
Donc il existe un entier
tel que :
.
Donc :
en notant
.
Donc :
.
Or :
.
Donc :
. Or
est croissante.
Donc :
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
.
Donc :
.
Or :
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
