Limite à l'infini
Soit
une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle
de
.
Définition :
Limite réelle à l'infini
La fonction
est définie au voisinage de
si
contient au moins un intervalle de la forme
où
est un réel.La fonction
admet en
une limite réelle
si :
.Cette limite, si elle existe, est unique et l'on note :
ou
.
La fonction
est définie au voisinage de
si
contient au moins un intervalle de la forme
où
est un réel.La fonction
admet en
une limite réelle
si :
.Cette limite, si elle existe, est unique et l'on note :
ou
.
Pour la limite en
, on peut rendre
aussi proche que l'on veut de
à condition de prendre
suffisamment grand : pour tout
plus grand que
,
est compris entre
et
.
Fondamental :
Limite réelle à l'infini
Si
, la courbe représentative de
admet une droite « asymptote horizontale » d'équation
.
Remarque : Si
admet une limite réelle à l'infini, alors
est bornée au voisinage de l'infini.
Définition :
Limite infinie à l'infini
Soit
une fonction définie au voisinage de
.
La fonction
admet en
la limite
si :
.On note :
ou
.
La fonction
admet en
la limite
si :
.On note :
ou
.
Soit
une fonction définie au voisinage de
.
La fonction
admet en
la limite
si :
.On note :
ou
.
La fonction
admet en
la limite
si :
.On note :
ou
.
Définition :
Deux courbes représentatives des fonctions
et
sont asymptotes à l'infini si :
.
En particulier, la droite d'équation
est asymptote à la courbe de
à l'infini si :
.
Cela se traduit par :
.
En effet,
si
est le point de la courbe d'abscisse
et
le point de l'asymptote d'abscisse
.
Fondamental :
Interprétation géométrique
Si
, on détermine la nature de la branche infinie en étudiant
(si elle existe) :
Si
, la courbe représentative de
admet une branche parabolique de direction
.Si
, la courbe représentative de
admet une branche parabolique de direction
.Si
(réel non nul), on étudie
(si elle existe).Si
, la courbe représentative de
admet une direction asymptotique
.Si
(réel), la courbe représentative de
admet une « asymptote oblique » d'équation
.
