Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit une suite de réels strictement positifs.
On définit la suite par : et : .
Question
Montrer que la suite converge si et seulement si la série est convergente.
Etudiez le sens de variations de la suite , puis démontrez successivement les deux implications.
Une récurrence évidente montre que : , et donc : .
Donc la suite est bien définie, et elle est positive et croissante.
On démontre successivement les deux implications.
On suppose que la suite est convergente. Soit : .
La suite est croissante, donc : , donc et : , donc : .
Donc : .
Or la série est convergente car .
Donc la série est convergente.
On suppose que la série est convergente. Soit : .
La suite est croissante, donc : , donc : .
Donc : . Donc : .
, donc .
Donc la suite est croissante et majorée, donc convergente.
Conclusion : La suite est convergente si et seulement si la série est convergente.