Séries numériques

Exo 11

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la suite définie par : et : .

Question

Etudier la convergence de la suite .

Indice

Montrez l'existence de et étudiez le sens de variations de la suite.

Solution

Une récurrence évidente montre que : car .

Donc la suite est bien définie.

La fonction : est continue et strictement décroissante sur car si .

Donc définit une bijection de dans .

Donc : et .

Donc : . Donc : .

Donc la suite est décroissante et minorée par . Donc elle converge.

Comme la fonction est continue sur , la limite de est solution de l'équation , donc de et elle est positive ou nulle.

Conclusion : La suite converge vers .

Question

Etudier la convergence de la série de terme général .

Indice

Etudiez la convergence de la suite en utilisant un développement limité.

Solution

La condition nécessaire de convergence d'une série est vérifiée puisque : .

De plus : par développement limité du logarithme.

Donc : . Donc : .

Donc : . Donc, d'après le théorème de Césaro : .

Donc : . Donc : . Donc : .

Donc . Donc la série à termes positifs est de même nature que la série .

Or la dérie est une série de Riemann divergente ( ).

Conclusion : La série est divergente.

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