Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit la suite définie par : et : .
Question
Etudier la convergence de la suite .
Montrez l'existence de et étudiez le sens de variations de la suite.
Une récurrence évidente montre que : car .
Donc la suite est bien définie.
La fonction : est continue et strictement décroissante sur car si .
Donc définit une bijection de dans .
Donc : et .
Donc : . Donc : .
Donc la suite est décroissante et minorée par . Donc elle converge.
Comme la fonction est continue sur , la limite de est solution de l'équation , donc de et elle est positive ou nulle.
Conclusion : La suite converge vers .
Question
Etudier la convergence de la série de terme général .
Etudiez la convergence de la suite en utilisant un développement limité.
La condition nécessaire de convergence d'une série est vérifiée puisque : .
De plus : par développement limité du logarithme.
Donc : . Donc : .
Donc : . Donc, d'après le théorème de Césaro : .
Donc : . Donc : . Donc : .
Donc . Donc la série à termes positifs est de même nature que la série .
Or la dérie est une série de Riemann divergente ( ).
Conclusion : La série est divergente.