Séries numériques

Exo 12

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On rappelle la notation : .

Soit un entier naturel fixé.

Pour tout , on pose et .

Question

Déterminer pour quelles valeurs de la série converge.

Indice

Déterminez un équivalent de .

Solution

. Donc : .

Donc la série à termes positifs est de même nature que la série qui est une série de Riemann divergente si et convergente si .

Conclusion : La série converge si et seulement si .

Remarque : Pour , la série diverge grossièrement car ne tend pas vers .

Question

Démontrer que : .

Indice

Raisonnez par récurrence.

Solution

On raisonne par récurrence.

Initialisation : , donc : .

Donc : . Donc : .

Hérédité : Soit tel que .

Donc : .

Or : .

Donc : . Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire la somme de la série en fonction de lorsqu'elle converge.

Indice

Déterminez la limite des sommes partielles.

Solution

On a vu que : , donc : .

Or : . Donc : , et donc : .

Conclusion : Lorsque , la somme de la série est : .

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