Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la série de terme général :
.
Question
Montrer que la série
est convergente et calculer sa somme.
Transformez l'expression du numérateur pour simplifier avec
, puis étudiez la limite des sommes partielles de la série.
On transforme l'expression de
pour simplifier la fraction par les premiers facteurs de
.
pour tout entier naturel
.
Donc :
pour tout entier naturel
.
La première fraction ne peut être simplifiée que si
.
Donc :
pour tout entier
et
.
Donc :
.
On pose
dans la première somme,
dans la deuxième et
dans la troisième.
Donc :
.
On reconnaît des sommes partielles d'une série exponentielle :
, donc :
.
Donc la suite
est convergente et :
.
Conclusion : La série
est convergente et sa somme est
.
