Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la série de terme général :
.
Question
Montrer que la série
est convergente et calculer sa somme.
Transformez l'expression de
pour faire apparaître une série géométrique et ses dérivées.
On transforme l'expression de
pour faire apparaître une série géométrique
et ses dérivées
et
.
pour tout entier naturel
.
Donc :
.
Donc la série
est combinaison linéaire de la série géométrique
et de ses dérivées première et seconde.
Or
, donc ces trois séries sont convergentes.
Conclusion : La série
est convergente.
Et :
.
Donc :
.
Conclusion : La somme de la série est
.
