Séries numériques

Exo 2

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère les séries de termes généraux et .

Leurs sommes partielles d'ordre sont notées et .

Question

Montrer que : . Que peut-on en déduire pour la série ?

Indice

Comparez avec .

Solution

et la fonction est décroissante.

Donc : . Donc : .

Donc : . Donc : .

Conclusion : La série harmonique est divergente.

Question

Démontrer que la suite de terme général est convergente.

Indice

Etudiez le sens de variations de la suite .

Solution

La suite de terme général est positive car : .

.

La fonction est concave car sa dérivée seconde est négative.

Donc sa courbe est en dessous de sa tangente en : .

Donc : . Donc la suite est décroissante et minorée par .

Conclusion : La suite de terme général est convergente.

Sa limite est la constante d'Euler : .

Question

Montrer que les suites de termes généraux et sont adjacentes. Que peut-on en déduire pour la série ?

Indice

Utilisez la définition des suites adjacentes.

La suite est convergente si et seulement si les suites et convergent vers la même limite.

Solution

.

Donc la suite est croissante.

.

Donc la suite est décroissante.

. Donc : .

Conclusion : Les suites et sont adjacentes.

Donc elles sont convergentes et admettent la même limite.

Donc la suite est convergente et admet la même limite.

Conclusion : La série harmonique alternée est convergente.

Elle est donc semi-convergente puisqu'elle n'est pas absolument convergente.

Question

Démontrer que : . En déduire .

Indice

Dans les sommes, séparez les termes de rang pair et les termes de rang impair.

Solution

Dans chaque somme, on sépare les termes de rang pair et les termes de rang impair.

.

.

Donc : et .

Conclusion : .

Donc : .

Or, d'après la deuxième question : .

Donc : . Donc : car la série converge.

Conclusion : .

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