Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère les séries de termes généraux
et
.
Leurs sommes partielles d'ordre
sont notées
et
.
Question
Question
Démontrer que la suite de terme général
est convergente.
Etudiez le sens de variations de la suite
.
La suite de terme général
est positive car :
.
.
La fonction
est concave car sa dérivée seconde
est négative.
Donc sa courbe est en dessous de sa tangente en
:
.
Donc :
. Donc la suite
est décroissante et minorée par
.
Conclusion : La suite de terme général
est convergente.
Sa limite est la constante d'Euler :
.
Question
Montrer que les suites de termes généraux
et
sont adjacentes. Que peut-on en déduire pour la série
?
Utilisez la définition des suites adjacentes.
La suite
est convergente si et seulement si les suites
et
convergent vers la même limite.
.
Donc la suite
est croissante.
.
Donc la suite
est décroissante.
. Donc :
.
Conclusion : Les suites
et
sont adjacentes.
Donc elles sont convergentes et admettent la même limite.
Donc la suite
est convergente et admet la même limite.
Conclusion : La série harmonique alternée
est convergente.
Elle est donc semi-convergente puisqu'elle n'est pas absolument convergente.
Question
Démontrer que :
. En déduire
.
Dans les sommes, séparez les termes de rang pair et les termes de rang impair.
Dans chaque somme, on sépare les termes de rang pair et les termes de rang impair.
.
.
Donc :
et
.
Conclusion :
.
Donc :
.
Or, d'après la deuxième question :
.
Donc :
. Donc :
car la série
converge.
Conclusion :
.