Suites numériques

Exo 11

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère la suite définie par son premier terme et par : .

Question

Démontrer que, si la suite converge, sa limite est : .

Indice

Utilisez la relation de récurrence et remarquez que : .

Solution

Si , alors et , donc par unicité de la limite : .

Donc : , donc : ou .

Or une récurrence évidente montre que : , donc : .

Conclusion : Si la suite converge, sa limite est .

Question

Démontrer que : .

Indice

Raisonnez par récurrence.

Solution

On raisonne par récurrence.

Initialisation : et . Donc : car .

Hérédité : Soit tel que .

La fonction : est décroissante sur et .

Donc : , donc : .

Donc : , donc : .

Conclusion : .

Question

Etudier le sens de variations des suites et .

Indice

Factorisez et utilisez l'inégalité précédente.

Solution

.

Donc : .

Donc : .

Et : .

Conclusion : La suite est décroissante et la suite est croissante.

Question

En déduire que les suites et convergent mais que la suite diverge.

Indice

Si une suite converge, toute suite extraite converge vers la même limite.

Solution

La suite est décroissante et minorée par , donc elle est convergente.

La suite est croissante et majorée par , donc elle est convergente.

Mais : , donc : , donc : .

Et : , donc : , donc : .

Or si la suite convergeait, les suites et convergeraient vers la même limite, donc vers .

Conclusion : Les suites et convergent mais la suite diverge.

En fait, la suite converge vers et la suite converge vers .

Les deux suites sont monotones de sens contraires, mais ne sont pas adjacentes.

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