Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par son premier terme
et par :
.
Question
Question
Question
Question
En déduire que les suites
et
convergent mais que la suite
diverge.
Si une suite converge, toute suite extraite converge vers la même limite.
La suite
est décroissante et minorée par
, donc elle est convergente.
La suite
est croissante et majorée par
, donc elle est convergente.
Mais :
, donc :
, donc :
.
Et :
, donc :
, donc :
.
Or si la suite
convergeait, les suites
et
convergeraient vers la même limite, donc vers
.
Conclusion : Les suites
et
convergent mais la suite
diverge.
En fait, la suite
converge vers
et la suite
converge vers
.
Les deux suites sont monotones de sens contraires, mais ne sont pas adjacentes.