Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par son premier terme
et par :
.
Question
Etudier le sens de variations de la suite suivant les valeurs de
.
Démontrez que le sens de variations de la suite dépend de la position de
par rapport à
.
.
Donc le sens de variations de la suite dépend de la position de
par rapport à
et
.
Une récurrence évidente montre que :
.
, donc
est du signe de
.
Donc, pour tout entier
, le signe de
est constant : c'est le signe de
.
Si
, alors :
, donc :
.
Si
, alors :
, donc :
.
Si
, alors :
.
Conclusion :
Si
, la suite est décroissante.
Si
, la suite est croissante.
Si
, la suite est stationnaire.
Question
En déduire l'étude de la convergence de la suite suivant les valeurs de
.
Commencez par déterminer les seules valeurs possibles de la limite de la suite.
Si la suite
est convergente, notons
sa limite.
Donc :
et
, donc par unicité de la limite :
.
Donc, si la suite converge, sa limite est
ou
.
Si
, la suite est décroissante et minorée par
car
.
Donc, si
, la suite est convergente.
De plus :
, donc sa limite vérifie :
. Donc :
.
Si
, la suite est croissante. Donc :
.
Si la suite
était majorée, elle serait convergente et sa limite vérifierait
, ce qui n'est pas possible.
Donc, si
, la suite est croissante non majorée, donc elle diverge vers
.
Conclusion :
Si
, alors la suite
converge vers
.
Si
, la suite
diverge vers
.
Si
, la suite est stationnaire.