Suites numériques

Exo 10

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère la suite définie par son premier terme et par : .

Question

Etudier le sens de variations de la suite suivant les valeurs de .

Indice

Démontrez que le sens de variations de la suite dépend de la position de par rapport à .

Solution

.

Donc le sens de variations de la suite dépend de la position de par rapport à et .

Une récurrence évidente montre que : .

, donc est du signe de .

Donc, pour tout entier , le signe de est constant : c'est le signe de .

Si , alors : , donc : .

Si , alors : , donc : .

Si , alors : .

Conclusion :

  • Si , la suite est décroissante.

  • Si , la suite est croissante.

  • Si , la suite est stationnaire.

Question

En déduire l'étude de la convergence de la suite suivant les valeurs de .

Indice

Commencez par déterminer les seules valeurs possibles de la limite de la suite.

Solution

Si la suite est convergente, notons sa limite.

Donc : et , donc par unicité de la limite : .

Donc, si la suite converge, sa limite est ou .

Si , la suite est décroissante et minorée par car .

Donc, si , la suite est convergente.

De plus : , donc sa limite vérifie : . Donc : .

Si , la suite est croissante. Donc : .

Si la suite était majorée, elle serait convergente et sa limite vérifierait , ce qui n'est pas possible.

Donc, si , la suite est croissante non majorée, donc elle diverge vers .

Conclusion :

  • Si , alors la suite converge vers .

  • Si , la suite diverge vers .

  • Si , la suite est stationnaire.

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