Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par son premier terme et par : .
Question
Etudier le sens de variations de la suite suivant les valeurs de .
Démontrez que le sens de variations de la suite dépend de la position de par rapport à .
.
Donc le sens de variations de la suite dépend de la position de par rapport à et .
Une récurrence évidente montre que : .
, donc est du signe de .
Donc, pour tout entier , le signe de est constant : c'est le signe de .
Si , alors : , donc : .
Si , alors : , donc : .
Si , alors : .
Conclusion :
Si , la suite est décroissante.
Si , la suite est croissante.
Si , la suite est stationnaire.
Question
En déduire l'étude de la convergence de la suite suivant les valeurs de .
Commencez par déterminer les seules valeurs possibles de la limite de la suite.
Si la suite est convergente, notons sa limite.
Donc : et , donc par unicité de la limite : .
Donc, si la suite converge, sa limite est ou .
Si , la suite est décroissante et minorée par car .
Donc, si , la suite est convergente.
De plus : , donc sa limite vérifie : . Donc : .
Si , la suite est croissante. Donc : .
Si la suite était majorée, elle serait convergente et sa limite vérifierait , ce qui n'est pas possible.
Donc, si , la suite est croissante non majorée, donc elle diverge vers .
Conclusion :
Si , alors la suite converge vers .
Si , la suite diverge vers .
Si , la suite est stationnaire.