Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel euclidien de dimension
.
Question
Démontrer que :
.
Lorsque les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires, construisez une base orthonormée directe bien adaptée et raisonnez sur les coordonnées.
Si
ou
, l'égalité est vérifiée car les deux membres sont nuls.
Si les vecteurs
et
sont colinéaires et non nuls, il existe un réel
tel que
.Donc :
et
.Donc l'égalité est vérifiée.
Si les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires, alors
est un plan.Le vecteur
est orthogonal au plan
, donc il oriente
. Soit
une mesure de l'angle orienté
.On définit les vecteurs :
,
et
.On construit ainsi une base orthonormée directe
.Dans cette base :
,
et
.Donc :
et
.Or :
et
.Donc :
.
Conclusion :
.
Cette formule est connue sous le nom de « formule du double produit vectoriel ».
