Orientation d'un plan dans l'espace de dimension 3
On suppose l'espace vectoriel euclidien
orienté et rapporté à une base
orthonormale directe.
Définition :
Le produit mixte de trois vecteurs
,
et
est :
.
Il est indépendant de la base orthonormale directe
choisie.
Fondamental :
Propriétés :
est une forme trilinéaire alternée.
si et seulement si
,
et
sont coplanaires.
si et seulement si
est une base orthonormale directe.
Définition :
Le produit vectoriel de deux vecteurs
et
est l'unique vecteur
tel que :
.
Fondamental :
Propriétés :
est une application bilinéaire antisymétrique :
.
si et seulement si
et
sont colinéaires.-
est orthogonal à
et à
.
Si
et
sont orthogonaux et unitaires,
est une base orthonormale directe.
où
est une mesure de l'angle géométrique de
et
.Si
et
ont respectivement pour coordonnées
et
dans une base orthonormale directe, alors
a pour coordonnées :
.
Fondamental :
Orientation d'un plan dans l'espace
Un plan
est orienté par le choix d'une base orthonormale
. La droite
est orientée par le choix d'un vecteur unitaire
. On dira que les deux orientations sont compatibles si la base orthonormale
est directe.
Si
est une base orthonormale d'un plan
, alors
est l'unique vecteur de
tel que
soit une base orthonormale directe.
Inversement, si
est un vecteur unitaire de la droite
, il existe une unique orientation du plan
qui soit compatible avec celle de
. On dira que le vecteur
oriente le plan
.
