Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Dans l'espace
, on considère la matrice :
.
Soit
l'application qui à tout matrice
de
associe la matrice
.
Question
Montrer que l'application
est une symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel
parallèlement à un sous-espace vectoriel
que l'on précisera.
Montrez que
est un endomorphisme involutif.
Puis déterminez les sous-espaces
et
.
Soient
et
deux matrices de
et
un réel.
.
Donc
est un endomorphisme de
.
.
Or :
. Donc
. Donc
est un endomorphisme involutif.
Conclusion :
est une symétrie.
Si
, alors :
.
Donc
si et seulement si
.
Conclusion : La base
de la symétrie
est l'ensemble des matrices de la forme
.
Et
si et seulement si
.
Conclusion : La direction
de la symétrie
est l'ensemble des matrices de la forme
.
Remarque :
L'application
vérifie en plus la propriété :
.
