Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que
et
sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
.
Montrez que
et
.
Un vecteur
appartient à
si et seulement si
, donc si
, donc si
.
Donc
est le plan vectoriel de base
et
.
Un vecteur
appartient à
si et seulement si
, donc si
, donc si
.
Donc
est la droite vectorielle de base
.
Donc
et
car
.
Conclusion :
et
sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
.
Question
Déterminer les coordonnées de l'image du vecteur
par la symétrie
par rapport à
parallèlement à
.
Exprimez que
et que
.
Tout vecteur
de
se décompose de manière unique sous la forme
et
.
Donc le vecteur
est l'unique vecteur tel que
.
Donc il existe
tel que
, donc
.
Or
, donc :
, donc
.
Conclusion : La symétrie
associe au vecteur
le vecteur
.
