Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Dans l'espace vectoriel
, on donne les vecteurs
,
,
et
.
Question
Démontrer que
et
sont des familles génératrices d'un même sous-espace vectoriel
.
Exprimez
et
en fonction de
et
.
On remarque que :
et
.
Donc
et
appartiennent à
. Donc :
.
Et :
équivaut à :
.
Donc
et
appartiennent à
. Donc :
.
Donc :
.
Conclusion :
et
sont des familles génératrices d'un même sous-espace vectoriel
.
Question
Déterminer une équation de
.
est l'ensemble des combinaisons linéaires de
et
(ou de
et
).
Un vecteur
appartient à
si et seulement si il existe des réels
et
tels que
.
Donc un vecteur
appartient à
si et seulement si le système
a des solutions.
Or ce système équivaut à :
, donc à :
.
Donc le système a une solution
si et seulement si :
.
Conclusion :
.
Autre méthode (utilisant les déterminants)
Un vecteur
appartient à
si et seulement si la famille
est liée, donc si
.
Or :
.
Donc :
.
