Familles de vecteurs
Dans ce qui suit,
désigne un
- espace vectoriel.
Définition :
Une famille
de vecteurs d'un sous-espace vectoriel
est une famille génératrice de
si
.
C'est équivalent à dire que :
.
Fondamental :
Propriétés :
Toute famille de vecteurs de
qui contient une famille génératrice de
est génératrice de
.
Si l'un des vecteurs d'une famille génératrice de
est combinaison linéaire des autres, la famille privée de ce vecteur est génératrice de
.
Définition :
Une famille
de vecteurs de
est une famille libre si :
.
Fondamental :
Propriétés :
La famille
est libre si et seulement si tout vecteur de
s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de
.
Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
La famille
est libre si et seulement si
.
La famille
est libre si et seulement si
et
ne sont pas colinéaires.
Définition :
Une famille
de vecteurs de
est une famille liée si elle n'est pas libre, donc si :
.
Fondamental :
Propriétés :
La famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
Toute famille qui contient une famille liée est liée.
Définition :
Une famille
de vecteurs d'un sous-espace vectoriel
est une base de
si elle est libre et génératrice de
.
Une famille
de vecteurs de
est une base de
si et seulement si :
.
Les coefficients
sont les coordonnées de
dans la base
.