Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Résoudre l'équation
dans
.
Factorisez le premier membre et remarquez que
est un corps.
Dans
, l'équation équivaut à :
, donc à :
.
Or dans
:
. Donc l'équation équivaut à :
.
Donc l'équation équivaut à
.
Or
est un nombre premier, donc
est un corps, donc est intègre.
Conclusion : Les solutions de l'équation sont
et
.
Question
Résoudre l'équation
dans
.
Factorisez le premier membre et déterminez les diviseurs de
.
Dans
, l'équation équivaut à :
.
Donc
et
sont des diviseurs de
.
Or
n'est pas un anneau intègre car
n'est pas un nombre premier.
Les diviseurs de
sont :
,
,
et
.
On obtient donc :
ou
ou
ou
.
Conclusion : Les solutions de l'équation sont
,
,
et
.
Question
Soient
et
deux éléments de
.
Dans
, résoudre, suivant les valeurs de
et
, le système :
.
Remarquez que pour qu'il y ait des solutions, il faut que
soit multiple de
.
On peut d'abord remarquer que la deuxième équation implique que
soit un multiple de
.
Or, dans
, les multiples de
sont :
,
et
.
Donc si
ou
ou
, le système n'a pas de solution.
En additionnant membre à membre, le système équivaut à :
.
Donc il équivaut à :
, donc à :
.
Si
, on obtient :
ou
, donc :
ou
.
Si
, on obtient :
ou
, donc :
ou
.
Si
, on obtient :
ou
, donc :
ou
.
Conclusion :
Si
,
ou
, le système n'a pas de solution.Si
, les solutions sont :
et
.Si
, les solutions sont :
et
.Si
, les solutions sont :
et
.
