Arithmétique

Pour tout , on définit : .

Donc divise et , donc divise et , donc divise .

Inversement, divise et , donc divise et , donc divise .

Donc : . Donc : .

Conclusion : .

Pour tout entier : , , , ...

Par récurrence double, montrons que, pour tout , il existe deux réels et tels que .

Initialisation : avec et avec .

Hérédité : Soit tel que : et .

Donc : .

Donc : avec : .

Conclusion : Pour tout , il existe et tels que .

Les suites et vérifient : , et .

On retrouve la relation de récurrence de la suite de Fibinacci.

• et . Donc : .

• , et . Donc : .

Donc : .

Donc divise et , donc divise .

Et inversement, divise et , donc divise .

Or et sont premiers entre eux, donc tout diviseur de est premier avec .

Donc d'après le théorème de Gauss, divise .

Donc divise et , donc divise .

Conclusion : .

Soit . La relation à démontrer est symétrique entre et , et elle est évidente si .

Donc on peut supposer dans la suite que .

On divise par : il existe tel que avec .

• Si : .

  Or, d'après la question précédente :

  Une récurrence évidente montre que : .

  Donc si , alors , donc .

• Si : .

  Or, d'après la question précédente :

  Une récurrence évidente montre que : .

  Donc si : .

  On utilise l'algorithme d'Euclide sur et .

  • donc si .

  • donc si .

  • , donc si .

  On continue ainsi jusqu'au dernier reste non nul qui est .

  La division suivante donne : . Donc : car le reste est nul.

  Donc : .

Conclusion : .

D'après ce qui précède :

Donc si divise , alors : . De même si divise : .

Dans les autres cas, est distinct de et de .

Et il existe des entiers relatifs non nuls et tels que : .

et . Donc et ne peuvent pas être tous les deux positifs, ni tous les deux négatifs.

Donc l'un est positif et l'autre est négatif. Or et jouent des rôles symétriques, donc on peut supposer et .

Donc il existe des entiers naturels et non nuls tels que : .

Donc, par récurrence : .

Donc : . Or : .

Donc : .

Or Donc, par récurrence : .

Or divise et . Donc : et . Donc : .

Conclusion : .