Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On appelle nombres de Fermat les entiers de la forme
pour
.
Question
Démontrer que
et
sont premiers entre eux pour tous les entiers
et
distincts.
Exprimez
en fonction de
.
Soient
et
deux entiers naturels tels que
.
La propriété à démontrer est symétrique entre
et
, donc on peut supposer
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Donc :
.
Donc le PGCD de
et
divise
.
Donc :
ou
. Or
et
sont impairs. Donc :
.
Conclusion : Si
, alors
et
sont premiers entre eux.
