Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
,
et
trois entiers naturels non nuls. On note
leur PGCD et
leur PPCM.
Question
Montrer que
lorsque
,
et
.
. Or :
. Donc :
.
. Or :
. Donc :
.
Donc :
et
.
Conclusion :
lorsque
,
et
.
Remarque :
Pour deux entiers, le produit de leur PGCD et de leur PPCM est égal au produit des deux entiers.
L'exemple précédent montre que c'est faux pour trois entiers.
Par contre, il existe des cas où la propriété est vraie.
Par exemple, si
,
et
, on a
et
, donc :
.
Question
A quelle condition sur
,
et
a-t-on
?
Introduisez le PGCD et le PPCM de
et de
, et utilisez les propriétés démontrées pour deux nombres.
Soit
,
et
tels que
et soit
.
.
Donc
si et seulement si
. Or
.
Donc
est un diviseur de
, donc
. Donc il faut que :
et
.
Or
est un diviseur de
et
est un diviseur de
. Donc
est un diviseur de
.
Donc il faut que
. Or :
. Donc si
,
et
sont tels que
, alors :
.
Les trois entiers
,
et
jouent des rôles symétriques. Donc :
.
Réciproquement, on suppose que :
.
Donc :
. Et :
.
Or
est premier avec
et avec
, donc il est premier avec
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Conclusion : On a
si et seulement si :
.
Remarque :
Le premier exemple montre que la condition
est insuffisante.
