Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux entiers naturels non nuls tels que
.
Question
Déterminer tous les couples
tels que :
.
Introduisez
et ramenez vous à la somme et au produit de deux nombres.
Soit
. Donc il existe
tel que :
.
Donc :
. Donc
divise
et
, donc
divise
.
Les diviseurs de
sont :
,
,
,
,
et
.
Pour chaque valeur
, on obtient
et
, donc
et
sont solutions de l'équation
, donc de :
.
Le discriminant
doit être un carré d'entier car
et
sont entiers.
Les seules valeurs possibles de
sont donc
et
.
Si
, les solutions de l'équation sont
et
, mais
.
Si
, les solutions de l'équation sont
et
, qui conviennent car
.
On obtient donc
, donc
qui vérifie bien
.
Conclusion : Il y a un unique couple solution
.
Question
Déterminer tous les couples
tels que :
.
Exprimez
et
en fonction de leur PGCD, puis exprimez
.
. Donc il existe
tel que :
.
Donc :
. Or
, donc :
avec
et
.
Les diviseurs de
sont :
,
,
,
,
et
.
Donc :
ou
.
On obtient donc :
ou
qui vérifient bien
.
Conclusion : Les couples solutions sont :
et
.
Question
Déterminer tous les couples
tels que :
.
Utilisez la même méthode que dans la question précédente.
Soit
. Donc il existe
tel que :
et
.
Or :
. Donc :
. Donc
divise
.
Les diviseurs de
sont :
,
,
,
,
,
,
et
.
Or
et
, donc
, donc
, donc
, donc
.
Si
, alors
ce qui n'a pas de solution entière.
Si
, alors
ce qui n'a pas de solution entière.
Si
, alors
, donc
, donc
.
Si
, alors
ce qui n'a pas de solution entière.
Si
, alors
ce qui n'a pas de solution entière.
On obtient donc
qui vérifie bien
car
et
.
Conclusion : Il y a un unique couple solution
.
