Arithmétique

Exo 2

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Un naufrage amena trois marins et un singe sur une île déserte où ils passèrent la première journée à ramasser des noix de coco pour se nourrir. Il en firent un tas puis s'endormirent pour la nuit.

Mais, après qu'ils furent tous endormis, l'un des marins se réveilla et pensant qu'au matin il pourrait y avoir une dispute sur la répartition, il décida de prendre sa part. Il divisa les noix de coco en trois tas, donna la noix de coco restante au singe, prit sa part et la cacha. Puis il refit un seul tas du reste et se rendormit.

Peu après un deuxième marin se réveilla et fit exactement la même chose : il divisa les noix de coco en trois tas, donna la noix de coco restante au singe, prit sa part et la cacha. Puis il refit un seul tas du reste et se rendormit.

Puis le troisième marin fit de même.

Le lendemain matin le tas qui restait fut partagé en trois parts identiques, le singe n'ayant rien cette fois. Personne n'osa rien dire car tous se savaient coupables.

Question

Combien avaient-ils ramassé de noix de coco au minimum ?

Indice

A chaque étape, exprimez le nombre de noix de coco restantes et les divisibilités qui résultent des partages.

Solution

Soit le nombre de noix de coco au départ.

Le premier marin donne une noix de coco au singe, puis divise les noix de coco restantes en parts égales. Donc est divisible par .

Donc il existe tel que : .

Le premier marin prend noix de coco et donc le tas restant contient noix de coco.

Le deuxième marin donne une noix de coco au singe, puis divise les noix de coco restantes en parts égales. Donc est divisible par .

Donc il existe tel que : . Donc : .

Le deuxième marin prend noix de coco et donc le tas restant contient noix de coco.

Le troisième marin donne une noix de coco au singe, puis divise les noix de coco restantes en parts égales. Donc est divisible par .

Donc il existe tel que : . Donc : .

Le deuxième marin prend noix de coco et donc le tas restant contient noix de coco.

Le lendemain matin le tas qui reste est partagé en trois parts identiques, le singe n'ayant rien. Donc est divisible par , donc est divisible par .

Donc il existe tel que : . Donc : . Donc est impair.

Donc il existe tel que : et donc : .

Donc , donc est pair. Donc il existe tel que : .

Donc : . Donc : où .

Conclusion : Il y avait au minimum noix de coco.

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