Exo 1
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
,
et
trois entiers naturels.
Question
Montrer que si
,
et
ne sont pas multiples de
, alors
est un multiple de
.
Etudiez les restes des divisions de
,
et
par
.
On effectue les divisions de
,
et
par
:
avec
. Or
n'est pas multiple de
, donc
ou
.
avec
. Or
n'est pas multiple de
, donc
ou
.
avec
. Or
n'est pas multiple de
, donc
ou
.
Donc :
.
Les deux premiers termes sont multiples de
. Etudions le troisième :
Si
, alors :
.Si
, alors :
.Si deux restes parmi
,
et
sont égaux à
et le troisième à
, alors :
.Si deux restes parmi
,
et
sont égaux à
et le troisième à
, alors :
.
Donc dans tous les cas,
est un multiple de
.
Conclusion : Si
,
et
sont des entiers naturels qui ne sont pas multiples de
, alors
est un multiple de
.
Question
Montrer que si
est un multiple de
, alors l'un au moins des entiers
,
et
est multiple de
.
Démontrez que si
,
et
ne sont pas multiples de
, alors
n'est pas un multiple de
.
Par contraposée, c'est équivalent à démontrer que si
,
et
ne sont pas multiples de
, alors
n'est pas un multiple de
.
On reprend les notations précédentes. Donc :
.
Les trois premiers termes sont multiples de
. Etudions le dernier :
Si
, alors
.Si
, alors
.Si deux restes parmi
,
et
sont égaux à
et le troisième à
, alors
.Si deux restes parmi
,
et
sont égaux à
et le troisième à
, alors
.
Donc
n'est multiple de
dans aucun des cas.
Donc si
,
et
ne sont pas multiples de
, alors
n'est pas un multiple de
.
Conclusion : Si
est un multiple de
, alors l'un au moins des entiers
,
et
est multiple de
.
