Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit
. Déterminer les polynômes
qui vérifient :
.
Commencez par déterminer le degré du polynôme, puis calculez
et utilisez la formule de Taylor.
Les polynômes constants ne sont pas solutions de l'équation.
Soit
un polynôme non nul solution de l'équation. Donc :
et
.
Donc le polynôme
est de même degré que
. Donc :
.
Or :
, donc en dérivant
fois :
.
Donc :
et
car
.
Donc :
. Or d'après la formule de Taylor :
.
Conclusion : L'équation a une unique solution
.
Remarque :
On aurait pu aussi résoudre le problème en calculant directement les coefficients de
.
Si
, alors
.
Donc :
et
. Donc :
.
