Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un ensemble muni d'une relation d'ordre total notée
.
On définit sur
la relation :
.
Question
Démontrer que la relation
est une relation d'ordre total sur
. On appelle cette relation l'ordre lexicographique.
Pour démontrer l'antisymétrie et la transitivité, étudiez les quatre cas possibles.
, donc
.Donc la relation
est réflexive
Montrons qu'elle est antisymétrique. Supposons que
et que
.On a donc :
et
.Il y a donc quatre cas :
ou
ou
ou
.Les trois premiers systèmes n'ont pas de solution. Et le quatrième système équivaut à
, donc à
.Donc la relation
est antisymétrique.
Montrons que la relation
est transitive. Supposons que
et que
.On a donc :
et
.Il y a donc quatre cas :
ou
ou
ou
.Donc :
ou
ou
ou
. Donc
ou
.Donc
.Donc la relation
est transitive.
Donc la relation
est une relation d'ordre.
Soient
et
.
Si
, alors
. Si
, alors
.
Si
, alors
ou
, donc
ou
.
Conclusion : La relation
est une relation d'ordre total.
Remarque : Remarque
On peut généraliser par récurrence pour définir une relation d'ordre total sur
.
C'est par exemple l'ordre utilisé dans un dictionnaire, qui est défini à partir de l'ordre des lettres dans l'alphabet.
Question
En déduire que l'on peut définir sur
une relation d'ordre total qui prolonge la relation d'ordre sur
, mais que
n'est pas un corps ordonné pour cette relation d'ordre.
Définissez la relation d'ordre en utilisant les parties réelles et imaginaires des complexes.
Montrez que si la relation était compatible avec la multiplication, on aurait :
.
Tout complexe a une unique forme algébrique :
.
On définit sur
la relation :
.
C'est une relation d'ordre total sur
car elle correspond à l'ordre lexicographique sur
.
On peut remarquer que si
et
sont réels, alors
, donc
. Donc on retrouve la relation d'ordre sur
.
Conclusion : On peut définir une relation d'ordre total sur
qui prolonge la relation d'ordre sur
.
Avec cette relation d'ordre, on a :
car
.
Donc si
était un corps ordonné, on aurait
et
, donc
, donc
, ce qui est évidemment faux.
Conclusion : Cette relation d'ordre ne munit pas
d'une structure de corps ordonné.
Question
Pour cette relation d'ordre, l'ensemble
est-il majoré ? A-t-il une borne supérieure ?
Comparez les éléments de
avec
.
Plus généralement, déterminez l'ensemble des majorants de
.
est un majorant de
si et seulement si :
, donc si :
.
Donc
majore
.
Conclusion : L'ensemble
est majoré.
L'ensemble
admet une borne supérieure si et seulement si l'ensemble
des majorants de
a un plus petit élément.
appartient à
si et seulement si
.
En particulier, pour
, il faut que :
.
Réciproquement si
, alors
, donc
.
Si
, alors
et
car
.
Donc, si
, alors
.
Donc
appartient à
si et seulement si
.
L'ensemble des majorants de
est :
.
Or dans
:
si
.
Donc
est l'ensemble des complexes
. Donc
est le plus petit majorant de
.
Conclusion : L'ensemble
admet
comme borne supérieure.
